Halaman
93Dalil PythagorasSeorang nakhoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 80 meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar adalah 60 meter dari permukaan laut, dapatkah kalian menentukan jarak nakhoda dari puncak mercusuar tersebut?Persoalan di atas dapat kita hitung dengan menggunakan prinsip segitiga siku-siku. Jika panjang dua sisi segitiga siku-siku kita ketahui, maka sisi yang lain dapat kita tentukan. Caranya adalah dengan menggunakan dalil Pythagoras. BabDalil PythagorasSetelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu:• Menjelaskan dan menemukan dalil Pythagoras, dan syarat berlakunya;• Menuliskan dalil Pythagoras untuk sisi-sisi segitiga;• Menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika sisi lainnya diketahui;• Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya;• Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku khusus;• Menghitung panjang diagonal sisi dan ruang kubus dan balok;• Menerapkan dalil Pythagoras.Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran
94Matematika SMP Kelas VIIIMatatatattteeemaemaemaemememmaeeeeetikika a SSMP PKelKlllaas VVIII9494A. Dalil PythagorasB. Menemukan dalil PythagorasD. Menyelesaikan soal cerita yang berhubungan dengan dalil PythagorasC. Menggunakan dalil Pythagoras1. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan1. Menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku2. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya3. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga khusus4. Menentukan panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubusDalil Pythagoras2. Luas daerah persegi3. Luas daerah segitigaPeta konsep
95Dalil PythagorasDalam dalil Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga. Oleh karena itu, sebelum membahas dalil Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku.DalamA Dalil PythagorasMasih ingatkah kalian bagaimana menentukan kuadrat dari suatu bilangan? Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. Perhatikan contoh berikut ini!1 Kuadrat dan Akar Kuadrat BilanganContohTentukan kuadrat dari bilangan berikut!a. 8,3 b. 12 c. 21Penyelesaian:a. 8,32 = 8,3 × 8,3 = 68,89b. 122 = 12 × 12 = 144c. 212 = 21 × 21 = 441Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat. Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan menarik √16 menjadi p = √16. Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 × 4 = 16. Bilangan p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula. Perhatikan contoh berikut!ContohTentukan akar kuadrat dari bilangan berikut:a. √68,89b. √144c. √441Penyelesaian:a. √68,89=√8,3 ×√8,3 = 8,3 b. √144 = √12 × √12 = 12c. √441 = √21 × √21 = 21
96Matematika SMP Kelas VIII2 Luas Daerah PersegiMasih ingatkah kalian cara menentukan luas bangun datar persegi? Luas persegi dapat ditentukan dengan cara mengalikan sisi-sisinya. Jika sisi sebuah persegi adalah s maka luasnya dapat dituliskan sebagai berikut.L = s × s = s2ContohTentukan luas persegi jika diketahui sisi-sisinya berukuran 21 cm!Penyelesaian:L= s2 = 21 cm × 21 cm = 441 cm2Jadi luas persegi adalah 441 cm2.3 Luas Daerah SegitigaKalian tentu sudah mempelajari cara menghitung luas dan keliling segitiga. Pada bab ini kalian akan mempelajari hubungan antara luas segitiga dengan luas persegi panjang.Perhatikan gambar persegi panjang PQRS berikut!Dari persegi panjang tersebut kita memperoleh dua buah segitiga, yaitu ∆PQR dan ∆PSR. Luas ∆PQR = luas daerah ∆PSR.Hal ini menunjukkan bahwaLuas ∆PQR = 12 × luas PQRS = 12× panjang PQ× panjang QR = 12× alas × tinggi Jadi, luas segitiga dirumuskan:L= 12 × a× tdengan a = alas segitiga, dan t = tinggi segitigaSRPQ
97Dalil PythagorasContohTentukan luas segitiga jika diketahui alasnya berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm!Penyelesaian:L= 12 × alas × tinggi= 12 × 12 cm × 5 cm = 30 cm2Jadi luas segitiga adalah 30 cm2 .Latihan Soal1. Tentukan kuadrat dari bilangan berikut ini!a. 4 e. 20 i. 0,17b. 11 f. 14,5 j. 42c. 17 g. 0,25d. 16,5 h. 36,8 2. Tentukan akar kuadrat dari bilangan berikut! a. 16 e. 0,09 i. 1024b. 128 f. 196 j. 2500c. 0,16 g. 81d. 729 h. 1,693. Tentukan luas segitiga jika diketahui;a. alas = 8 cm , tinggi = 7 cmb. alas = 10 cm, tinggi = 6 cmc. alas = 6 cm, tinggi = 12 cmd. alas = 9 cm, tinggi = 14 cme. alas = 15 cm, tinggi = 12 cmB Menemukan Dalil PythagorasLuas persegi dan segitiga yang dibahas pada bagian se belum-nya dapat digunakan untuk menenemukan dalil Pythagoras. Untuk menemukan dalil Pythagoras lakukanlah kegiatan berikut ini!
98Matematika SMP Kelas VIII• Buatlah segitiga siku-siku dari kertas warna dengan panjang sisi-sisinya tertentu. Misalkan panjang sisi siku-sikunya adalah a dan b dengan sisi miring c sebanyak 4 buah• Susunlah keempat segitiga tersebut sehingga terbentuk persegi yang panjang sisinya (a + b). Perhatikan gambar di samping! • Luas
PQRS = Luas
ABCD – 4 × Luas segitiga Luas
PQRS = .... × .... = c2 Luas
ABCD = ( ... + ...)2 = ...2 + 2ab + ...24 × Luas segitiga = 4 × 12× ... × ...⎛⎛⎛⎛= 2ab• Luas
PQRS = Luas
ABCD – 4 × Luas segitigac2 = ....2 + 2ab + ...2 – 2abacbacbacbacbabSDaaabbbCPRABQccccBerdasarkan kegiatan di atas kalian akan memperoleh sifat segitiga siku-siku, yaitu pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Sifat inilah yang kemudian dikenal dengan dalil Pythagoras. Jadi, jika ABC adalah sembarang segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku a dan b serta panjang sisi miring c maka berlaku hubungan sebagai berikut:c2 = a2 + b2acbCBALatihan SoalTentukanlah rumus Pythagoras dari setiap segitiga siku-siku pada soal berikut ini! 1. 2. 3. 4. abcCBAcabABCrpqPQRqrpRPQTugas
99Dalil PythagorasPada sebuah segitiga siku-siku, jika dua buah sisinya diketahui maka salah satu sisinya dapat dicari dengan menggunakan dalil Pythagoras. Perhatikan contoh berikut ini!C Menggunakan Dalil PythagorasDengan menggunakan dalil Pythagoras, kalian dapat menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika diketahui dua sisi yang lainnya. Selain itu, dalil ini dapat digunakan juga untuk menentukan jenis segitiga dengan membandingkan kuadrat sisi miringnya dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.1 Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-SikuContohPanjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9 cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya!Penyelesaian:BC2 = AB2 + AC2AC2 = BC2 – AB2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144AC =√144 = 12 cmJadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC)=12 cm.915?ABCTokohDalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang hidup pada abad keenam Masehi. (Sumber: www.e-dukasi.net) Latihan SoalHitunglah panjang sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui pada gambar berikut!1. 2. 3. ?4 cmCAB3 cmAB6 cmC?8 cmCAB15 cm?9 cm
100Matematika SMP Kelas VIII2 Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisi-SisinyaDalil Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya. Namun demikian, sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai kebalikan dari dalil Pythagoras.a. Kebalikan Dalil PythagorasPada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuadrat miring (hypothenusa) atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya. Dari pernyataan tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil Pythagoras, yaitu:• Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku, atau • Jika pada suatu segitiga berlaku a2 = b2 + c2, maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu sudutnya 90o.4. 5. 6.AB13 cm12 cm?CC15 cm20 cmA?BCAB2,5 cm?1,5 cm?6 cmCAB4,5 cmAB10 cmC?8 cmCAB12 cm?9 cmAB26 cm24 cm?CC1,5 m2 mA?BCAB25 cm?15 cm7. 8. 9.10. 11. 12.cabABC
101Dalil PythagorasContohSuatu segitiga ABC mempunyai panjang AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tentukan apakah segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku atau bukan!Penyelesaian:AB = 10, maka AB2 = 100BC = 24, maka BC2 = 576AC = 26, maka AC2 = 676Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa 676 = 100 + 576.Sehingga AC2 = AB2 + BC2Jadi segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku.b. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinyaBagaimana menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya dengan menggunakan dalil Pythagoras? Coba kalian perhatikan contoh berikut ini. • Buatlah sebuah segitiga dari lidi yang panjangnya masing-masing 9 cm, 12 cm, dan 15 cm! • Sebutkan jenis segitiga yang terbentuk !• Bagaimana hubungan antara ketiga sisinya?Berdasarkan contoh di atas, dapatkah kalian menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya? Jika kalian belum memahaminya dengan baik, lakukanlah kegiatan berikut ini.ContohSuatu segitiga panjang sisi-sisinya diketahui adalah 6 cm, 12 cm, dan 15 cm. Tentukanlah jenis segitiga tersebut!Penyelesaian:152 = 15 × 15 = 22562 + 122 = 36 + 144 = 190Karena 152 > 62 + 122 maka jenis segitiganya adalah segitiga tumpul.Tugas
102Matematika SMP Kelas VIIIBerdasarkan kegiatan tersebut kalian akan menemukan hubungan panjang sisi-sisi sebuah segitiga dengan jenis segitiganya. Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah c dan panjang sisi yang lainnya adalah a dan b, maka berlaku hubungan sebagai berikut.¾ Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.c2 = a2 + b2¾ Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.c2 > a2 + b2¾ Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip.c2 < a2 + b2c. Tripel PythagorasBilangan-bilangan 3, 4, dan 5 serta 6, 8, dan 10 merupakan bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras, yaitu 52 = 32 + 42 dan 102 = 62 + 82. Bilangan-bilangan tersebut dapat dipandang sebagai panjang sisi sebuah segitiga siku-siku. Bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras seperti itu disebut tripel Pythagoras. Jadi, tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lainnya.Math InfoSalah satu bilangan yang termasuk bilangan tripel Pythagoras adalah 3, 4, dan 5. Ketiga bilangan tersebut dianggap sebagai angka ajaib dan mistik bagi kaum Mesir kuno. Karenanya, angka-angka tersebut dijadikan dasar pengukuran untuk membentuk sudut siku-siku. (Sumber: www.e-dukasi.net)• Buatlah sebuah segitiga dari lidi yang panjangnya 12 cm, 13 cm, dan 15 cm!• Sebutkan jenis segitiga yang terbentuk !• Bagaimana hubungan antara ketiga sisinya?• Buatlah sebuah segitiga dari lidi yang panjangnya 10 cm, 7 cm, dan 9 cm!• Sebutkan jenis segitiga yang terbentuk !• Bagaimana hubungan antara ketiga sisinya?ContohTentukan apakah bilangan berikut termasuk tripel Pythagoras atau bukan!a. 12, 9, 15 b. 8, 10, 18
103Dalil PythagorasPenyelesaian:a. 152 = 225 122 + 92 = 144 + 81 = 225 152 = 122 + 92Jadi, a. 12, 9, 15 termasuk bilangan tripel Pythagoras. b. 8, 10, 13 bukan bilangan tripel Pythagoras.Latihan Soal1. Tentukan apakah segitiga yang panjang sisinya berikut ini termasuk segitiga siku-siku atau bukan!a. 12 cm, 13 cm, 5 cm d. 7 cm, 24 cm, 25 cmb. 13 cm, 7 cm, 14 cm e. 6 cm, 6 cm, 6 cmc. 8 cm, 15 cm, 17 cm 2. Tentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya sebagai berikut!a. 9 cm, 12 cm, 15 cm d. 8 cm, 15 cm, 20 cmb. 5 cm, 8 cm, 12 cm e. 7 cm, 24 cm, 25 cmc. 9 cm, 13 cm, 17 cm 3. Tentukan apakah bilangan asli berikut termasuk tripel Pythagoras atau bukan!a. 12, 16, 20 d. 6, 8, 10b. 7, 8, 11 e. 8, 15, 17c. 5, 3, 23 Menghitung Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga KhususSegitiga siku-siku merupakan segitiga yang salah satu sudut-nya membentuk sudut 90o. Bagaimana menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga yang memiliki ciri khusus seperti segitiga siku-siku, sama kaki, dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30o? Perhatikan penjelasan berikut ini!a. Segitiga siku-siku sama kakiSegitiga siku-siku sama kaki diperoleh dengan cara membagi sebuah persegi melalui diagonalnya menjadi dua bagian. Perhatikan persegi ABCD yang panjang sisinya a seperti pada gambar di samping! Jika bangun persegi tersebut dibagi dua DCABaab. 132 = 169 82 + 102 = 64 + 100 = 164 132= 82 + 102
104Matematika SMP Kelas VIIImelalui diagonal BD, maka akan diperoleh dua buah segitiga siku-siku sama kaki yaitu ΔBAD dan ƦBCD. Besar sudut ABDadalah 45o. Jelaskan mengapa?Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat menentu-kan panjang sisi BD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.BD2 = AB2 + AD2⇔BD2 = a2 + a2⇔BD2 = 2a2⇔BD = √2a2 = a√2Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku BAD sebagai berikut.• AB : BD =a : a√2 = 1:√2• AD : BD = a : a√2 = 1:√2• AB : AD = a : a = 1 : 1 • AB : AD : BD = a : a : a√2 = 1 : 1 : √2DAB45oaContohDiketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang sisi AC6√2 cm. Jika ∠BAC = 45o, tentukan panjang sisi AB dan BC!Penyelesaian:AB : AC = 1 : √2⇔AB6√21√2=⇔AB = 6× 1= 6BC : AB = 1 : 1 maka BC = AB = 6 cmJadi, panjang AB = BC = 6 cm.b. Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30oSegitiga siku-siku yang salah satu sudutnya mem bentuk sudut 30o diperoleh dengan cara membagi sebuah segitiga sama sisi menjadi dua bagian. Perhatikan segitiga ABCdi samping! Jika kita membagi dua segitiga sama sisi di samping menjadi dua bagian yang sama besar maka akan diperoleh segitiga BDC siku-siku di D dan segitiga ADCsiku-siku di D. Besar ∠DBC = 60o karena segitiga ABCadalah segitiga sama sisi. Besar ∠BCD = 30o. Jelaskan mengapa?CBA6√2 cm45oCABD2a2a2aa
105Dalil PythagorasDengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat me-nentukan panjang sisi CD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.BC2 = BD2 + CD2⇔CD2 = BC2 – BD2⇔CD2 = (2a)2 – a2⇔CD2 = 4a2 – a2⇔CD2 = 3a2⇔CD= √3a2 = a√3 Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku BDC sebagai berikut.• BD : BC = a : 2a = 1 : 2• CD : BC = a√3 : 2a = √3 : 2• BD : CD = a : a√3 = 1 : √3• BD : CD : BC = a : a√3 : 2a = 1 : √3 : 2CDB60o2aContohDiketahui segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang sisi AB 4 cm. Jika ∠BCA = 30o, tentukan panjang sisi BC dan AC!Penyelesaian:AB : BC = 1 : 2⇔4BC = 12⇔BC= 4 × 2 = 8AB : AC = 1 : √3⇔4AC = 1√3⇔AC = 4√3Jadi, panjang sisi BC = 8 cm dan AC = 4√3 cm.CAB30o4 cma
106Matematika SMP Kelas VIIILatihan Soal1. Hitunglah panjang sisi-sisi yang belum diketahui pada segitiga berikut!a. c.b. d.2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang sisi AC adalah 5√2cm. Jika ∠BAC = 45o, tentukan panjang sisi AB dan BC!3. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang sisi PQ 8 cm. Jika ∠QRP = 30o, tentukan panjang sisi QR dan PR!CAB30o5 cmCAB3 cm45oRPQ45o√3 cmRPQ60o6 cm4 Menentukan Panjang Diagonal Sisi dan Diagonal Ruang KubusDalil Pythagoras dapat digunakan untuk mencari panjang diagonal sisi atau diagonal ruang kubus dan balok. Hal ini dikarenakan diagonal sisi dan diagonal ruang merupakan sisi miring bagi sisi bidangnya. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di samping! Pada kubus ABCD.EFGH rusuk EB merupakan salah satu diagonal sisi pada kubus dan rusuk HB merupakan salah satu diagonal ruangnya. Jika panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a satuan panjang maka kita dapat menentukan panjang rusuk EB dan HB. Untuk menentukan panjang diagonal sisi EB, perhatikan segitiga siku-siku ABE pada kubus ABCD.EFGH. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.EB2 = AB2 + AE2ABaDCEFHGEABaa
107Dalil Pythagoras⇔EB2 = a2 + a2⇔EB2 = 2a2⇔EB = √2a2 = a√2Jadi, panjang diagonal sisi sebuah kubus yang panjang sisinya a adalah a√2.Untuk menentukan panjang diagonal ruang HB, perhatikan segitiga BDH yang siku-siku di D. Karena rusuk BD merupa kan di agonal sisi kubus ABCD.EFGH, maka panjangnya adalah a√2. Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh hubungan berikut. HB2 = DB2 + DH2⇔HB2 = (a√2)2 + a2⇔HB2 = 2a2 + a2⇔HB2 = 3a2 ⇔HB = √3a2 = a√3 Jadi, panjang diagonal ruang sebuah kubus yang panjang sisinya a satuan adalah a√3.HDBaa√2ContohTentukan diagonal sisi dan diagonal ruang jika diketahui panjang rusuk kubus adalah 8 cm!Penyelesaian:Diagonal sisi = 8√2cmDiagonal ruang = 8√3 cmLatihan Soal1. Tentukanlah diagonal sisi dan diagonal ruang pada kubus berikut ini!a. b. 5 cm7 cm
108Matematika SMP Kelas VIIIContohSebuah tangga bersandar pada tembok yang tingginya 8 m. Jika kaki tangga terletak 6 m dari dinding, tentukanlah panjang tangga yang bersandar pada tembok tersebut!Penyelesaian:c. d. 2. Diketahui volume sebuah kubus adalah 216 cm3. Tentukan panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus tersebut!3. Kubus PQRS.TUVW memiliki luas permukaan 486 cm2. Tentukan panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus PQRS.TUVW!10 cm15 cmD Menyelesaikan Soal Cerita yang Berhubungan dengan Dalil PythagorasPada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari bagaimana menggunakan dalil Pythagoras untuk menentukan jenis segitiga dan panjang diagonal ruang serta diagonal sisi sebuah kubus. Lalu bagaimana jika ditemukan soal cerita yang berhubungan dengan dalil Pythagoras? Agar mudah dalam menyelesaikannya, buatlah sketsa gambar dari soal yang dimaksud. Setelah itu, kalian gunakan dalil Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahannya. Perhatikan contoh berikut ini!6 cm8 cm
109Dalil Pythagoras Langkah pertama yang kita lakukan adalah meng-gambarkan situasi dari permasalahan tersebut seperti terlihat pada sketsa di samping ini!BC2 = AB2 + AC2⇔BC2 = 62 + 82⇔BC2 = 36+ 64 ⇔BC2 = 100⇔BC = √100= 10 meter.Jadi, panjang tangga tersebut adalah 10 meter.CAB8 m6 mLatihan Soal1. Seorang nakhoda kapal melihat pun cak mercusuar yang berjarak 100 meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar 60 meter, tentukan jarak nakhoda dari puncak mercu-suar tersebut!2. Sebuah tenda berdiri menggunakan beberapa tali yang diikatkan ke dasar tanah dari ujung tenda. Jika panjang tali yang digunakan adalah 15 meter dan jarak antara tiang penyangga pada tanah dengan besi yang berdiri tepat di tengah-tengah tenda adalah 12 meter, tentukanlah tinggi tenda tersebut!3. Sebuah tangga yang panjangnya 7 meter disandarkan pada sebuah dinding yang tingginya 4 m. Jika kaki tangga itu terletak 3 m dari dinding, tentukanlah panjang bagian tangga yang menonjol di atas dinding!4. Seorang anak berenang di sebuah kolam yang permukaannya berbentuk persegi panjang dengan panjang 16 m. Jika ia berenang secara diagonal dan menempuh jarak 20 m, tentukanlah lebar kolam renang tersebut!100 m60 m?
110Matematika SMP Kelas VIIIRangkuman1. Kuadrat suatu bilangan adalah perkalian antara bilangan tersebut dengan dirinya sendiri.2. Akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula.3. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya.4. Menentukan jenis segitiga jika diketahui sisi-sisinya a. Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.b. Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.c. Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.5. Tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lainnya.6. Panjang diagonal sisi kubus yang panjang sisinya a adalah a√2.7. Panjang diagonal ruang kubus yang panjang sisinya a adalah a√3.Otak-Atik MatematikaSebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang AB = 16 cm, dan EG = 8√5 cm. Tinggi balok = 22 cm. Tentukan:a. Lebar balokb. Panjang diagonal ruang balokc. Volume air yang dapat ditampung oleh balokOABDCEFHG
Uji Kemampuan Bab 5111Uji KemampuanA. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat, a, b, c, atau d! Tuliskan pada lembar jawabanmu!1. Kuadrat dari bilangan 16 adalah ....a. 144 c. 225b. 169 d. 2562. Akar kuadrat dari bilangan 289 adalah ....a. 21 c. 17b. 20 d. 113. Pada segitiga PQR berikut berlaku hubungan .....a. p2 = q2 + r2b. q2 = p2 + r2c. r2 = p2 + q2d. p2 = q2 – r24. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah 9 cm, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya adalah ....a. 12 cm c. 16 cmb. 14 cm d. 18 cm5. Panjang sisi AB pada segitiga ABC di samping adalah ....a. 4 cmb. 5 cmc. 6 cmd. 7 cm6. Suatu segitiga mempunyai ukuran sisi-sisinya 8 cm, 15 cm, dan 20 cm. Segitiga tersebut merupakan jenis segitiga ....a. lancip c. siku-sikub. tumpul d. sama kaki7. Suatu segitiga ukuran sisi-sisinya adalah 10 cm, 12 cm, dan 15 cm. Segitiga tersebut merupakan jenis segitiga ....a. lancip c. siku-sikub. tumpul d. sama kaki8. Bilangan berikut termasuk tripel Pythagoras, kecuali ....a. 6, 8, 10 c. 4, 12, 13b. 12, 16, 20 d. 9, 12, 15QRPpqrBAC?13 cm12 cm
112Matematika SMP Kelas VIII9. Panjang QR pada segitiga di bawah ini adalah ....a. 2 cmb. 3 cmc. 4 cmd. 5 cm10. Panjang PQ pada segitiga PQR berikut adalah ....a. 32b. 12√3c. 14√3d. 14√211. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang sisi AC 7√2 c m . J i k a ∠ BAC = 450, panjang sisi AB adalah ....a. 2 cm c. 6 cmb. 4 cm d. 7 cm 12. Diagonal sisi kubus yang panjang sisinya 5 cm adalah ....a. 5√2 cm c. 2√5 cmb. 5√3 cm d. 0,5 cm13. Diagonal ruang kubus yang volumenya adalah 343 cm3 adalah ....a. 6√2 cm c. 7√2 cmb. 6√3 cm d. 7√3 cm14. Sebuah tiang listrik dapat berdiri tegak jika ditahan dengan tali kawat baja. Jika jarak dari patok pengikat terhadap tiang listrik adalah 4 m dan tinggi tiang listrik 5 meter, maka panjang tali kawat yang dibutuhkan adalah ....a. √41cm c. √21cmb. 3 cm d. 5 cm 15. Seorang nakhoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 80 meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar adalah 60 meter. Jarak nakhoda dari puncak mercusuar adalah ....a. 75 m c. 125 mb. 100 m d. 150 m16. Sisi terpendek dan terpanjang suatu segitiga siku-siku adalah 20 cm dan 12 cm. Panjang sisi lainnya adalah ....a. 16 cm c. 18 cmb. 17 cm d. 19 cmRPQ60o6 cmRPQ45o√3
Uji Kemampuan Bab 511317. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 46 cm. Jika sisi terpanjang lebih 7 cm dari sisi terpendeknya, maka diagonal persegi panjang tersebut adalah ....a. 15 cm c. 17 cm b. 16 cm d. 18 cm18. Perhatikan bilangan-bilangan berikut ini!(i) 9, 12, 15 (iii) 2, 2√3, 4(ii) 7, 4, 5√3 (iv) √6, 2√ 3, 4Berdasarkan pernyataan di atas, pasangan bilangan yang dapat membentuk segitiga siku-siku adalah ....a. (i) dan (ii) c. (ii) dan (iv)b. (i) dan (iii) d. (ii) dan (iv)19. Sisi terpendek dan sisi terpanjang suatu segitiga siku-siku adalah 50 cm dan 30 cm. Sisi segitiga lainnya adalah .... a. 45 c. 20 b. 40 d. 2520. Keliling suatu persegi panjang adalah 70 m. Jika lebar persegi panjang 5 m kurangnya dari panjangnya, maka diagonal persegi panjang adalah ....a. 10 m c. 20 mb. 15 m d. 25 mB. Selesaikan soal-soal berikut ini!1. Dari bilangan-bilangan berikut ini, tentukan mana yang termasuk bilangan tripel Pythagoras! Jelaskan!a. 26, 24, 10 d. 5, 3, 2b. 24, 22, 7 e. 8, 15, 17c. 12, 16, 20 f. 2,5, 2, 1,52. Tentukan panjang diagonal sisi PR dan panjang diagonal ruang PV berdasarkan gambar di samping!3. Riko mempunyai sebuah rumah pohon. Rumah pohon tersebut berada pada ketinggian 3 meter di atas tanah. Untuk menjangkau rumah pohon tersebut, Riko menggunakan tangga yang disandarkan ke batang pohon. Jarak tangga dengan pohon 5 meter.a. Buat sketsa gambar berdasarkan keterangan di atas!b. Tentukan kemiringan tangga yang akan dinaiki Riko!SVQWPRUT15 cm8 cm6 cm
114Matematika SMP Kelas VIIIKUNCI JAWABAN BAB 5A. Pilihan Ganda1. d3. c5. b7. a9. b11. d13. d15. b17. c 19. bB. Uraian1. a, c, e, f3. b. √34 = 5,8 m5. b. 67,1 km4. Jika PQ = QR = 18 cm dan TQ = 24 cm, tentukan: a. TO (garis tinggi limas)b. TU (garis tinggi segitiga sisi limas)5. Sebuah mobil bergerak dari kota A ke arah utara sejauh 40 km menuju kota B. Dari kota B mobil tersebut melanjutkan perjalanan ke arah barat sejauh 30 km menuju kota C. Setelah beristirahat sebentar, mobil tersebut melanjutkan perjalanan lagi ke arah selatan sejauh 60 km menuju kota D. a. Sketsa perjalanan mobil tersebut dari kota A sampai kota D!b. Tentukan jarak dari kota B ke kota D!c. Tentukan jarak kota A dengan kota D! PQRTOUS
Latihan Ulangan Semester 1115A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat, a, b, c, atau d! Tuliskan pada lembar jawabanmu!1. Hasil dari (2a + 3)2 adalah ....a. 2a2 + 9 c. 4a2 + 9b. 4a2 + 12a + 9 d. 4a2 + 12a + 6 2. Penjabaran dari (2x – y)(3x + 4y) adalah ....a. 6x2 + 5xy + 4y2c. 6x2 + 5xy – 4y2b. 6x2 – 5xy + 4y2d. 6x2 – 5xy – 4y23. Bentuk sederhana dari pecahan aljabar 30x2y12xy adalah ....a. 5x2y2xyc. 52xb. 5xy2 d. 15x4. Penjabaran dari bentuk 12a2a –⎛⎛⎛⎛2 adalah ....a. 4a2 – 14a2c. 4a2 + 2 + 14a2b. 4a2 + 14a2 d. 4a2 – 2 + 14a25. Jika A = {p, u, n, k} dan B = {1, 2} maka himpunan A × B adalah ....a. {(p, 1), (u, 1), (n, 1), (k, 1)}b. {(p, 1), (u, 1), (n, 1), (k, 1), (p, 2), (u, 2), (n, 2), (k, 2)}c. {(p, 2), (u, 2), (n, 2), (k, 2)}d. {(p, 1), (u, 1), (n, 1), (k, 1), (p, 2), (u, 2), (n, 2)}6. Sebuah relasi dari dua himpunan dapat disajikan dengan beberapa cara, kecuali....a. diagram panah c. diagram garisb. diagram kartesius d. himpunan pasangan terurut7. Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan B = {1, 2, 3, 4}. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan A ke B adalah ....a. 6 c. 24b. 12 d. 368. Diketahui f(x) = a√x+ 7 dan f(4) = –3. Nilai dari f(9) adalah ....a. 8 c. 0b. 5 d. –8ULANGAN SEMESTER 1ULANGAN SEMESTER 1
116Matematika SMP Kelas VIII9. Garis g sejajar dengan garis h. Jika persamaan garis h adalah y = 34x – 5 maka gradien garis g adalah ....a. – 43c. 34b. – 34d. 4310. Persamaan garis berikut yang memiliki gradien – 13 adalah ....a. 3y + x = 2 c. y + 3x = 2b. 3y – x = 2 d. y – 3x = 2 11. Garis p tegak lurus garis q. Jika persamaan garis p adalah y = - 12x + 1 dan garis q melalui titik (–1,–4) maka persamaan garis q adalah ....a. y = 2x + 2 c. y = 2x – 2b. y = –12x + 2 d. y = 12x + 2 12. Titik potong garis y = –x + 2 dan y = x – 1 adalah ....a. 12⎛⎛⎛⎛32,c. 12⎛⎛⎛⎛32, –c. 12⎛⎛⎛⎛32, – d. 12⎛⎛⎛⎛32, – –13. Himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel 2x + y = 5, jika xdan y anggota himpunan bilangan cacah adalah ....a. {(0, 5), (1, 3), (2, 1)} c. {(0, 5), (1, 3), (2, 2)}b. {(5, 0), (3, 1), (1, 2)} d. {(0, 6), (1, 3), (2, 1)}14. Salah satu himpunan penyelesaian dari SPLDV 2x + ay = 6; x,y∈R2x + 3y = 2; x,y∈R adalah y = 4. Nilai koeÀ sien a adalah ....a. 5 c. 3b. 4 d. 2 15. Jika 3x + 4y = –10 dan 4x – 5y = –34 maka nilai dari 8x + 3y adalah ....a. –54 c. 42b. –42 d. 54 16. Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk adalah Rp 28.000,00. Jika harga 2 kg apel dan 5 kg jeruk adalah Rp 37.000,00, harga per kilogram apel dan jeruk masing-masing adalah ....a. Rp 6.000,00 dan Rp 5.000,00b. Rp 7.000,00 dan Rp 4.500,00 c. Rp 7.500,00 dan Rp 4.000,00 d. Rp 8.000,00 dan Rp 4.000,00
Latihan Ulangan Semester 111717. Pada segitiga PQR berikut berlaku hubungan .....a. p2 = q2 + r2b. q2 = p2 + r2c. r2 = p2 + q2d. p2 = q2 – r218. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 10 cm, 12 cm, 15 cm termasuk segitiga ....a. sama kaki c. siku-siku b. tumpul d. lancip19. Panjang QR pada segitiga tersebut adalah ....a. 2 cmb. 3 cmc. 4 cmd. 5 cm20. Sebuah tiang listrik dapat berdiri tegak jika ditahan dengan tali kawat baja. Jika jarak dari patok pengikat terhadap tiang listrik adalah 5 m dan tinggi tiang listrik adalah 6 meter, panjang tali kawat yang dibutuhkan adalah ....a. 3 m c. 8,7 mb. 7,8 m d. 10 mB. Selesaikan soal-soal berikut ini!1. Azizah mempunyai sapu tangan pink berbentuk persegi, dan bentuk sapu tangan Fitri persegi panjang. Jika sapu tangan Azizah berukuran x cm, dan ukuran sapu tangan Fitri (x + 4)(x - 3). Tentukan nilai x dan luas sapu tangan mereka masing-masing jika luas sapu tangan Fitri = luas sapu tangan Azizah!2. Suatu fungsi f dari himpunan P ke himpunan Q dengan aturan 2x – 2, x∈ P. Jika diketahui P = {2, 3, 5, 7} dan {1, 2, 3, ..., 12}, tentukanlah:a. Himpunan pasangan berurutan dalam f!b. Daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari f!3. Garis p tegak lurus garis q. Jika persamaan garis p adalah y = – 14x + 5 dan garis q melalui titik (1,-2), tentukanlah persamaan garis q!4. Dalam pemutaran À lm di sebuah bioskop hadir 250 penonton. Harga karcis di kursi bagian depan adalah Rp 25.000,00 sedangkan harga karcis di kursi bagian belakang adalah Rp 15.000,00. Jika uang hasil pemutaran À lm tersebut adalah Rp 4.750.000,00, tentukanlah:a. Model matematika dari permasalahan tersebut!b. Banyaknya penonton di kursi bagian depan dan banyak nya penonton di kursi bagian belakang!QRPpqrRPQ60o6 cm
118Matematika SMP Kelas VIII5. Seorang anak berenang di sebuah kolam yang permukaannya berbentuk persegi panjang dengan panjang 16 m. Jika ia berenang secara diagonal dan menempuh jarak 20 m, tentukanlah lebar kolam renang tersebut!6. Diketahui domain suatu fungsi G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.f(x) = 0 untuk x = 0, f(x) = x2 + 1 untuk x ganjil, dan f(x) = x2 - 1 untuk x genap. Tentukan:a. Himpunan pasangan berurutan!b. Diagram panah!c. Diagram kartesius!KUNCI JAWABAN ULANGAN SEMESTER 1A. Pilihan Ganda1. b3. c5. b7. c9. c11. c13. a15. b17. c19. bB. Uraian 1. x = 12 cmAzizah = 144 cm2Fitri = 144 cm2 3. y = 4x - 6 5. 12 m